В теории, построенной в согласии с аксиоматическим методом, начинают с небольшого количества неопределяемых (первичных) понятий , которые по предположению удовлетворяют определенным аксиомам . Прочие понятия, изучаемые в теории, определяются через первичные, и из аксиом и определений выводятся теоремы. Развитие математической теории в таком стиле – это первый шаг по направлению к её формализации.
В этой части мы исследуем применение аксиоматического метода в арифметике. Мы используем термин ``натуральные числа'' в смысле, отличающемся от обычного – ноль мы тоже включаем в натуральные числа. Такое использование этого термина обычно для зарубежных математиков. Мы пишем ``натуральные числа'' только чтобы не писать каждый раз ``целые неотрицательные числа''.
Мы рассматриваем множество w объектов называемых натуральными числами . Одно из натуральных чисел называется нулём и обозначается 0 . Для любого натурального числа n одно из натуральных чисел называется следующим за числом n и обозначается n' .
Множество натуральных чисел таково, что удовлетворяет следующим аксиомам:
Аксиома 1. Для любого натурального числа n: n' № 0.
Аксиома 2. Для любых натуральных чисел m и n: если m'=n', то m = n.
Аксиома 3. Пусть A является подмножеством множества w со следующими свойствами:
Эти аксиомы были введены Джузеппе Пеано в 1889 году.
Определения. 1 = 0 ', 2 = 1 ', 3 = 2 ', 4 = 3 ' .
В каждой из следующих задач получите данное утверждение из аксиом.
1.1 2 № 4.
1.2 n' № n.
Решение. Рассмотрим множество A натуральных чисел n таких, что n' № n . Наша цель – показать, что A = w , и мы сделаем это, используя аксиому 3. Сначала нам надо проверить, что 0 О A , то есть 0 ' № 0. Это следует из аксиомы 1. Теперь возьмём любое натуральное число n и предположим, что n О A , то есть n' № n . Нам надо вывести из этого предположения, что n' О A – это значит, что n'' № n' . Предположим, что n''= n' . Тогда, по аксиоме 2, n'= n , а это противоречит тому, что n' № n .
Это доказательство, разумеется, ``доказательство по индукции''. Условия 1 и 2 аксиомы 3 являются ``базисом'' и ``индуктивным шагом''. Аксиома 3, которая служит для построения доказательств подобных этому, называется аксиомой индукции .
1.3 Если n № 0 , то существует натуральное число m такое, что n = m'.
1.4 Такое число m единственно.
Чтобы определить сумму двух натуральных чисел, нам надо доказать корректность хорошо известного рекурсивного определения сложения (уравнения ( 1 ) ниже), то есть существование и единственность функции, удовлетворяющей этим уравнениям. Эти факты сформулированы здесь как задачи 1.7 и 1.8 .
1.5 Существует функция f из натуральных чисел в натуральные числа такая, что
| f (0) = 3, |
| f ( n' ) = f ( n ) '. |
1.6 Для любого m существует функция f из натуральных чисел в натуральные числа такая, что
| f (0) = m, |
| f ( n' ) = f ( n ) '. |
1.7 Существует функция g из w ґ w в w такая, что
| g ( m, 0) = m, |
| g ( m, n' ) = g ( m, n ). |
1.8 Такая функция g единственна.
Определение 1 (Сумма). Для этой функции g число g ( m, n ) называется суммой m и n и обозначается m + n .
Так, для любых натуральных чисел m и n :
|
(1) |
Корректность определения сложения была выведена из аксиом Пеано Лазло Кальмаром в 1929 году.
1.9 2 + 2 = 4.
1.11 ( k + m ) + n = k + ( m + n ) .
1.15 Если k + m = k + n, то m = n.
Определение 2 (Порядок). Мы пишем m Ј n , если для некоторого k : n = m + k .
1.16 0 Ј n.
1.17 n Ј n. *
1.18 n Ј n'.
1.19 n Ј 0 тогда и только тогда, когда n = 0 .
1.20 Если k Ј m и m Ј n, то k Ј n.
1.21 Если m Ј n и n Ј m, то m = n.
1.22 Если m Ј n и m № n, то m' Ј n.
1.23 Для любых m и n: m Ј n или n Ј m.
1.24 k + m Ј k + n тогда и только тогда, когда m Ј n.
Определение 3. Мы пишем m < n , если m Ј n и m № n .
1.25 2 < 4.
1.26 Любые натуральные числа m и n удовлетворяют по крайней мере одному из условий: m = n, m < n, n < m.
1.27 Любые натуральные числа m и n удовлетворяют в точности одному из этих условий.
1.28 Для любых натуральных чисел m и n, следующие условия эквивалентны:
Определение 4 (Наименьший элемент). Элемент n множества A натуральных чисел называется его наименьшим элементом , если для любого элемента m из A n Ј m .
1.29 Любое множество натуральных чисел имеет не более одного наименьшего элемента.
1.30 Для любого множества A натуральных чисел если 0 О A, то 0 является наименьшим элементом A.
1.31 Для любого множества A натуральных чисел если 1 О A, то A имеет наименьший элемент.
1.32 Любое непустое множество натуральных чисел имеет единственный наименьший элемент.
1.33 Для любого m существует функция f из натуральных чисел в натуральные числа такая, что
| f (0) = 0, |
| f ( n + 1) = f ( n ) + m. |
1.34 Существует функция g из w ґ w в w такая, что
| g ( m, 0) = 0, |
| g ( m, n + 1) = g ( m, n ) + m. |
1.35 Такая функция g единственна.
Определение 5 (Произведение). Для этой функции g число g ( m, n ) называется произведением m и n и обозначается m · n .
Так, для любых натуральных чисел m и n
|
(2) |
1.36 2 · 2 = 4.
1.38 m · n = 0 тогда и только тогда, когда m = 0 или n = 0 .
Определение 6 (Система Пеано). Тройка < W , a, s> , где W – множество, a – элемент из W , а s – функция из W в W называется системой Пеано , если
Используя это определение, аксиомы 1–3 можно сформулировать кратко, сказав, что тройка < w , 0 , s 0 >, где s 0 обозначает функцию следования, является системой Пеано.
1.39 Определите систему Пеано < W , a, s> такую, что W = w \ {0}.
1.40 Найдите изоморфизм между системой Пеано < w , 0 , s 0 > и системой Пеано, построенной в решении задачи 1.39 .
1.41 Для любой системы Пеано < W , a, s> существует изоморфизм между < w , 0 , s 0 > и < W , a, s>.
Таким образом, любая система Пеано изоморфна системе натуральных чисел. В этом смысле аксиомы 1–3 дают полную характеризацию натуральных чисел